Enigme mathématique du XVIIIe siècle :

[JacquesL]

Enigme mathématique du XVIIIe siècle :

Leonhard Euler et le “problème des 36 officiers”.
Saint-Pétersbourg 1766 : À l’occasion d’un bal de division, Catherine
la Grande souhaite une formation de danseurs particulièrement
originale. 36 officiers de 6 grades différents venant de 6 régiments
différents doivent se positionner en carré. Ils doivent le faire de
façon à ce que chaque ligne, horizontale et verticale, ne compte qu’un
officier pour chaque régiment et chaque grade. La tsarine a confié la
résolution de ce « problème de danse » au mathématicien suisse
Leonhard Euler (1707-1783) qui vivait à Saint-Pétersbourg. Il calcule,
se creuse la tête et lui prouve finalement que la danse est réalisable
de la façon souhaitée avec 25 ou 49 officiers, mais pas avec 36.

Toutefois, certains vendent un puzzle qui permettrait de résoudre le problème jugé impossible par Euler.

Toutefois j'ai comme un doute sur le sérieux de l'affaire, quand je les vois arguer que "1 milliard (= 10¹⁵)".

Une solution partielle : un régiment par ligne et par colonne :



Toute permutation circulaire de lignes ou de colonnes préserve le haut degré de symétrie, et exploite la donnée que les régiments sont interchangeables.
Toute autre permutation de lignes ou de colonnes préserve la solution, sans préserver la symétrie.
Ces permutations permettent-elles d'accéder à toutes les solutions ?
Il faut prouver que pour toute solution, des permutations permettent d'accéder de proche en proche, à une forme à haute symétrie. Heureusement, c'est évident :
Il existe une colonne qui a le violet en haut. Il existe une permutation qui la met toute à gauche.
On recommence sur les colonnes restantes pour avoir le jaune en haut à gauche. Etc. Jusqu'à avoir la première ligne rangée exactement comme le modèle.
Après quoi, on permute sur les cinq autres lignes pour avoir la première colonne rangée.
Et ? Et ? Et le jeu de contraintes est ainsi fait qu'il n'existe aucune permutation possible sur les carrés de cinq lignes par cinq colonnes, qui respecte le cahier des charges. Vous avez forcément reconstitué le jeu à haute symétrie !
Il y a 6! = 720 façons de disposer la première ligne, et il reste 5! = 120 façons de disposer le reste de la première colonne. Après quoi tout est contraint, la sous-colonne anti-jaune ne peut aller que dans la colonne du jaune en tête, etc. Il n'y a donc que 720 x 120 solutions distinctes, sous seulement 120 symétries différentes.

Mais avec les grades en plus, cela se gâte.

3	6	2	5	_	1
1	3	6	_	2	4
4	1	_	3	5	2
2	_	4	6	3	5
_	5	1	4	6	3
6	2	5	1	4	6 ou 3

Echec !
6 est un nombre composé. 5 et 7 sont premiers.
Le parcours de 2 en 2 sur 7 permet de parcourir toute la diagonale sans percuter ses voisins.

L'essai réussi à n = 5 incite à rechercher un pas de parcours de colonne, qui parcoure tous les grades, sans être 1. Il ne reste que 5 = -1.

_	_	X	5	3	1
_	_	X	4	2	6
_	_	X	3	1	5
_	_	4	2	6	4
_	5	3	1	5	3
6	4	X	X	4	2

Echec sanglant...

[JacquesL]

Enigme mathématique du XVIIIe siècle :

Leonhard Euler et le “problème des 36 officiers”.
Saint-Pétersbourg 1766 : À l’occasion d’un bal de division, Catherine
la Grande souhaite une formation de danseurs particulièrement
originale. 36 officiers de 6 grades différents venant de 6 régiments
différents doivent se positionner en carré. Ils doivent le faire de
façon à ce que chaque ligne, horizontale et verticale, ne compte qu’un
officier pour chaque régiment et chaque grade. La tsarine a confié la
résolution de ce « problème de danse » au mathématicien suisse
Leonhard Euler (1707-1783) qui vivait à Saint-Pétersbourg. Il calcule,
se creuse la tête et lui prouve finalement que la danse est réalisable
de la façon souhaitée avec 25 ou 49 officiers, mais pas avec 36.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_gr%C3%A9co-latin
Aucun carré gréco-latin n'existe en 2 ni en 6 éléments par côté.