Une brève histoire des vecteurs

[Mateo]

Cher lecteur,

Un article intéressant de Anne sur une brève histoire des vecteurs :

http://livremaths2nde.blogspot.com/2010/03/histoire-des-vecteurs-et-des-forces.html
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Mateo.

[Mateo]

Denis Chadebec écrit :

Quand on dit "La notion de vitesse est complexe et il vaut mieux commencer par la statique", alors ça, c'est un effet coriace de la "dictature" de Cauchy sur sur l'initiation à la mécanique par la statique au XIXè siècle. En collège, comme élève, j'en ai souffert : impossible de comprendre les forces et leur composition faute d'avoir une bonne idée de sa définition dynamique. Pour y voir clair, il m'avait fallu attendre … la terminale !

Ce qui suit est une suite de discours donnés aux élèves de seconde.

Ça avait commencé du temps d'Archimède. Chacun de nous a vu des milliers de mouvements. On en a tellement vu qu'on peut les évoquer par la seule pensée. Alors on pense. Si on veut les décrire dans le langage de la géométrie, il faut d'abord se faire modeste, ce qui nous donne une PREMIÈRE IDÉE de départ très simple : soit un corps initialement immobile soumis à une force unique et uniforme. On imagine immédiatement qu'il se met en mouvement sans qu'il ne tourne sur lui-même, ce qu'on appelle une translation. Ce mouvement est rectiligne. Il est commun à toutes les parties du corps. Si on suit un certain temps le corps, on se rend compte que chaque partie décrit une flèche et que toutes ces flèches ont la même orientation dans l'espace et la même longueur.

Ceci suggère fortement de représenter la force par non seulement une des flèches précédentes, mais par l'ensemble de toutes ces flèches.

Seulement voila, donner un nom et un symbole à un tel ensemble de flèches, les scientifiques on mis bien du temps à le faire. Il a fallu attendre [Hamilton et Grassmann : je ne les ai jamais évoqués] le XIXè siècle. Ce sera le vecteur avec son symbole habituel.

Pour l'orientation, ce n'est pas difficile. Mais pour la longueur, là on manque d'information : suivre le mouvement du corps pendant combien de temps ?
On propose alors aux élèves ce défi : décrire par la géométrie la vitesse quand elle garde son orientation, mais est variable en valeur. Les élèves aiment les défis, surtout si ils ont confiance en leur professeur.

Si la vitesse est constante (là on pense toujours !), alors il nous vient à l'esprit que le chemin et le temps sont proportionnels, et la représentation selon Thalès nous donne la loi L = V t. Mais V t est l'aire d'un rectangle de longueur t et de hauteur V. Si (toujours en pensée !) on remplace le "toit" du rectangle par une ligne quelconque continue, alors l'aire de la figure est toujours égale au chemin L.

Et alors (on pense encore et toujours !) un cas particulier est la croissance de la vitesse proportionnellement au temps : V = a t dont la représentation graphique [je prend le temps de la tracer] est un triangle rectangle d'aire V t / 2, soit a t² / 2. Le chemin est donc dans notre chaîne de pensées logiques L = a t² / 2.

Le nombre a est la première lettre du mot "accélération" (ac = augmenter, celeres = vitesse).

Si on suit le mouvement pendant 'racine carrée de 2' seconde, alors la partie du corps se déplace d'une distance égale à l'accélération. Voilà pour la question "suivre le mouvement pendant combien de temps ?". La partie du corps dessine une flèche : on l'adopte comme flèche accélération. Comme toutes les flèches accélération sont de même orientation et de même longueur, elles appartiennent à un vecteur unique, le vecteur accélération.

Il reste un problème pour le physicien. Les flèches accélération, c'est bien, mais l'objectif est de définir les flèches force.

Chacun de nous a fait des milliers de mises en mouvement. Assez pour qu'on sache qu'imprimer la même accélération à un corps de 3 kilos ou de 6 kilos n'exige pas la même force !

Alors on pense (encore !) : la seconde force doit être double de la première. C'est pourquoi la communauté scientifique avait accepté la DEFINITION de Newton de la force F en multipliant l'accélération a par la masse m , ce qui donne une nouvelle flèche de même orientation que la première et de longueur m fois plus grande. Bien entendu, pour un corps de 1 kilo, les deux flèches sont confondues.

Un corps en chute libre sans vitesse initiale suit la loi h = g t² / 2. On choisit h, on mesure t et on calcule g. En 'racine carrée de 2' seconde le corps descend de g mètres. Si le corps fait m kg, la force qui le fait descendre est m g Newtons.

L'intérêt de cette démarche est la matérialisation en pensée géométrique de la composition de plusieurs forces sur un même corps. C'est encore un défi, et les élèves aiment les défis. Le problème paraît compliqué et on y voit goutte. Sauf si … en pensée on suit les effets des forces quand elles agissent l'une après l'autre, le corps s'arrêtant quand une force est remplacée par la suivante. C'est irréel, certes, mais c'est le seul moyen donnant une chance de relever le défi. Si on se trompe ? Alors là, un juge impitoyable nous le dira : l'expérimentation.

On suit chaque force durant 'racine carrée de 2' seconde. La première fait aller de A à B la partie du corps sensée faire 1 kg, la suivante de B à C, et ainsi de suite. On arrive à un point final H. Alors on imagine que l'accélération globale est décrite par la flèche (AH). Donc que la force résultante est aussi (AF) colinéaire à (AH) de même sens mais m fois plus longue.

Quelle expérimentation ? Une ficelle tire dans son orientation. Elle matérialise l'orientation de la force, de l'accélération et de la force. Une poulie bien légère et bien lubrifiée change l'orientation de la ficelle, mais pas la force qu'elle exerce sur le corps. Un poids suspendu de m g Newtons tire une ficelle qui exerce une force de m g Newtons là où elle est attachée. Un corps pesant suspendu à deux fils tirés par deux poids suspendus, le voilà le juge impitoyable.

Quand on dit "Les vecteurs en maths correspondent en physique à des champs de vecteurs uniformes non ?", je répond non. Mais à des champs de FLECHES ayant toutes même orientation et même longueur. On a affaire à UN SEUL vecteur et à UNE INFINITE de flèches. Il faut parler ainsi aux élèves pour ne pas les embrouiller.

Un "champ de vecteurs non uniforme" est en fait un champ de flèches dont l'orientation et la longueur change d'un lieu à un autre. On a affaire à UN INFINITE de vecteurs et à UNE INFINITE de flèches, à raison d'un vecteur par flèche avec possibilité ici ou là que deux vecteurs, l'un possédant la flèche d'origine A et l'autre possédant la flèche d'origine B soient confondus.

Cordialement ; Denis Chadebec

[JacquesL]

Denis Chadebec est-il au courant de mon cours présenté à http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/index_maths_sciences.html,
http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/Mystification_.htm
http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/Syntaxe0.htm
http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/DEMELAGE_.htm
http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/SYNTAXV1_.htm
http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/SYNTAXE2_.htm
et la suite ?

[Mateo]

Très intéressant, mais le vocabulaire de cet auteur m'échappe quelques fois ...

Le document est très riche. Il me faut du temps.

En tout cas, cet un outil nouveau dont je compte bien me servir.

Cordialement, Denis Chadebec

[JacquesL]

Très intéressant, mais le vocabulaire de cet auteur m'échappe quelques fois ...

Le document est très riche. Il me faut du temps.

En tout cas, cet un outil nouveau dont je compte bien me servir.

Cordialement, Denis Chadebec

Une condensation a été faite en format wiki, à l'adresse :
http://www.deonto-ethics.org/geom_syntax/

Seule manquait la page "Cahier des charges", qui est à présent ébauchée.

Le transcodage depuis le format html a été une corvée assez lourde. Bénéfice secondaire : corrigé pas mal de petites erreurs, dont la plupart venaient d'un transcodage imparfait de Word vers html.