J'avais lu cette synthèse intéressante (j'ai lu toute cette partie de votre site personnel).
Cela méritait d'être fait, je ne l'avais jamais vu, et je vous félicite pour cette bonne idée.
Mais parfois, je m'interroge sur nos unités de mesure et aussi le sens des grandeurs, surtout en électromagnétisme.
En reconsidérant vitesse aréolaire / moment cinétique, on voit bien que la
quantité de mouvement aréolaire totale d'un solide s'obtient par intégration de la
densité de quantité de mouvement aréolaire, d'où on tire le moment d'inertie. Mais il faut que la vitesse angulaire soit constante sur tout le solide pour que le moment d'inertie puisse être isolé. Donc le moment d'inertie me semble une sorte d'étape de calcul plus qu'une grandeur physique.
En fait, il me semble de plus en plus évident que le produit vectoriel fut défini pour exprimer le déterminant dans un plan (
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_%28math%C3%A9matiques%29#D.C3.A9terminant_de_deux_vecteurs_dans_le_plan_euclidien).
L'Aire du parallélogramme dessiné par deux vecteur (uv.sin a) ou celle de son triangle (1/2.uv.sin a) sont des grandeurs dont on a souvent besoin, elles s'obtiennent par opération du déterminant sur les coordonnées, et c'est donc certainement ce besoin qui fut à l'origine du produit vectoriel en tant qu'opération sur les vecteurs.
L'inconvénient, à mon goût, c'est que cela masque l'opération réalisée, car le résultat de ce déterminant est mis dans le plan perpendiculaire, le produit vectoriel cherchant à réaliser 2 opérations en 1 seule, celle du calcule de l'Aire et celle de trouver un vecteur perpendiculaire au plan.
Les règles de Cramer, les équation linéaires, les matrices ! Bon Dieu, ça me revient ! Y'en a des choses derrières les vecteurs... Donc en fait, ça représente bien souvent des systèmes d'équations linéaires, y compris différentielles.
Exemple :
Loi de Hooke généralisée :
Tenseur des contraintes (ordre 2) = Tenseur des constantes élastiques (ordre 4) * Tenseur des déformation (ordre 2).
=> Problème à 9 équations et 9 inconnues avec 81 coefficients.
On peut donc imaginer un espace vectoriel à 9 dimensions, et y définir une algèbre entre vecteurs,
mais cet espace n'aura rien à voir avec l'espace physique réel, qui reste à 3 dimensions.
Notez que le Tenseur des contraintes élastique, d'ordre 4, est en Pascal (L-1), que e tenseur des contraintes, d'ordre 2, est lui aussi en Pascal, que le tenseur des déformations, d'ordre 2, est sans dimension (L0).
Cela ne correspond pas à votre tableau de chasse au chapitre 4.
C'est qu'il y a diverses manipulations calculatoires qui semblent ne pas permettre faire un lien systématique entre l'ordre du tenseur et la dimension physique de la grandeur.
Cela reste néanmoins un bel effort de mise en ordre et il mérite d'être prolongé.