La notion de limite en mathématiques

[Mateo]

Philippe Colliard a écrit :

Bonjour Jean-Luc,

  quelques notes rapides, si tu le veux bien
  ( ce ne seront que des notes rapides, pour cause d'emploi du temps...)

Philippe Colliard a écrit :

"les points ne bougent pas, ils sont là où ils sont. Point !

Ce qui "bouge", c'est la vision de l'observateur, qui utilise des
optiques de plus en plus précises (des microscopes qui grossissent de plus en plus).

Et c'est parce que ceci n'est à peu près jamais mis en avant que je
... M'énerve un peu contre l'interprétation habituelle "

Jean-Luc Giaco a répondu :

Je ne sais pas très bien ce qu'est "l'interprétation habituelle".
Pour ma part, je n'ai jamais parlé de points qui bougent, dans ce
contexte du moins. (Pour la tangente, c'est autre chose.)

  ... Mais quand tu écris, qq lignes plus bas, que les termes "se
rapprochent", que fais-tu ?
  Même si tu les fais bouger entre guillemets

Jean-Luc Giaco a écrit :

Pour moi, il y a une ambiguïté, j'ai l'impression (à tort peut-être)
que tu associes énumération et mouvement. C'est peut-être là qu'est
le malentendu avec Rudolf. Si on peut remettre en question l'aspect
"mouvement" de la limite, en revanche, à mon avis, on ne peut pas gommer
l'idée d'énumération, intrinsèquement liée à celle de suite.

  Je ne crois pas associer (ou alors à un niveau subliminal)
énumération et mouvement, et je pense comme toi qu'il n'est pas bon de
gommer l'énumération.

  Il me semble simplement qu'une des 2 visions avait envahi l’espace …
Ca ne veut pas dire qu’il faut l’exterminer, juste la dégonfler !!!

Jean-Luc Giaco a écrit :

L'idée que les termes "se rapprochent" de la limite n'est pas une
invention arbitraire, elle est liée au fait que les termes d'une suite
sont donnés naturellement l'un après l'autre. On peut regarder "en
bloc" l'ensemble des valeurs prises, mais ça vient après, il me semble.

    Si les termes « se rapprochent » (forme  active) … Ils BOUGENT


    Je préfère : plus l’indice est grand, plus le terme est proche de …
        Derrière tout ça, il y a cette idée que NOUS observons des
objets immobiles… Et que NOUS raisonnons sur ce que leur position nous
inspire  !

        Mais ça dépend des suites, tu as raison, et les 2 visions peuvent
cohabiter. A nous de choisir celle qui est le plus adaptée :
        dans un « dessin vivant » de personnes (dans un stade, une
patinoire, etc. ) chaque participant a un numéro, mais ce qui compte pour
le spectateur, c’est la forme obtenue ( l’effet …).

        Dans Kaprekar, c'est la construction... Mais j’ai du mal (et
j’ai tort)  à considérer une suite stationnaire comme une « vraie »
suite … Et ça vaut aussi pour le suites « périodiques »

Jean-Luc Giaco a écrit :

Il existe des suites définies par récurrence pour lesquelles on ne sait
pas dire grand chose a priori de l'ensemble des valeurs prises, ou dont
l'aspect "construction pas à pas est" prépondérant. Par exemple,
l'algorithme de Kaprekar. L'aspect "cinématique" me paraît alors assez
naturel.

Philippe Colliard a écrit :

"Considérez un segment, [AB], et la suite de points déterminés par
milieux successifs : M1, milieu de [AB], M2, milieu de [MB], etc."

C'est un bon exemple. Effectivement, on n'est pas obligé de voir du
mouvement là-dedans. Pourtant, il y a bien une construction "pas à
pas", ou "par récurrence", et tu n'y échappes pas, quand tu emploies le mot
"successifs". Je construis donc cette suite de points successifs, et en la
construisant, je vois quoi ? Eh oui... les points sont de plus en plus près de B.

On peut décider d'arriver "après" que les points soient tous construits
et regarder la densité de lumière. Mais est-ce plus simple ou plus
naturel ? Je n'en suis pas sûr.

  Tu sais, je ne suis sûr de rien, pour les autres ! Nous avons
heureusement tous des façons différentes de nous approprier une
information. Je n'aime simplement pas qu'une vision étouffe les autres
sans raison autre que le conditionnement.

Philippe Colliard a écrit :

"Dès qu'on dispose d'une métrique, la limite d'une suite me paraît
visuellement simple : un point (ou un nombre...) est limite d'une suite
équivaut à : quelle que soit la boule centrée en ce point (nombre),
elle contient "presque" tous les éléments de la suite !"

Jean-Luc Giaco a écrit :

C'est une bonne définition, mais j'aurai quelques remarques.

1) Visuellement simple, c'est très subjectif. Je pourrais faire
l'hypothèse que c'est simple pour toi, parce que tu as bien assimilé l'idée.

Mais l'illustration du programme de TS, avec les tubes, et la phrase "à
partir d'un certain rang, tous les termes sont dans le tube", en quoi
est-elle visuellement moins simple  ?

  Elle n'est pas visuellement moins simple. Ce qui me retient, là, c'est
que la vision "boules" n'est pas plus complexe, et elle ne réduit pas à
la droite des réels ce qu'un humain peut aussi bien concevoir ds un espace
de dim 3.

Jean-Luc Giaco a écrit :

2) Si la suite est stationnaire, les valeurs prises sont en nombre fini.
Il va bien falloir que tu expliques que la limite ne compte pas pour une
seule valeur, parce qu'elle est répétée une infinité de fois. Et tu es
obligé de revenir aux indices et à l'énumération.

  Tu marques un point !  Je te l'ai dit, je "n'aime pas" les suites
stationnaires. Désolé pour elles

Jean-Luc Giaco a écrit :

3) La densité des valeurs prises ne s'adapte pas bien à la limite d'une fonction réelle.
C'est dans ce cas qu'on peut plus facilement parler d'interprétation cinématique.

Prenons les deux énoncés :
"f a pour limite b signifie : quand x devient infiniment proche de a,
f(x) devient infiniment proche de b."

"f a pour limite b signifie : f(x) peut être rendu arbitrairement proche
de b, à condition de prendre x suffisamment proche de a."

L'un est cinématique, l'autre est statique, mais à mon goût, les deux
sont aussi (ou aussi peu) valables. Et il me semble même qu'il y a une
idée de mouvement dans le deuxième (prendre x suffisamment proche de a,
c'est le rapprocher de a) et une idée de distance statique dans le premier
(x devient infiniment proche de a s'il entre dans n'importe quelle boule ouverte de centre a.)
Donc, pour moi... kif kif...

Oui, ces 2 formulations me paraissent kif-kif   Je ne les trouve en
réalité ni statiques ni cinématiques... Et ce qui me dérange ici, c'est
encore cette idée implicite que les "x" et les "f(x)" sont actifs.

Je continue donc à préférer :  Quelle que soit la boule centrée en b,
il existe une boule centrée en a dont l’image par f est contenue dans
cette boule.

Ça demande peut-être un effort de réflexion plus fort (je n'en sais
rien), mais ça remet les objets à leur place d'objet, les
observateurs-penseurs à leur place d'observateur-penseur - et ça aide à
prendre - à mon idée - de bonnes habitudes

Je ne crois pas qu'on doive craindre qu'une expression rigoureuse soit
nécessairement rébarbative pour les élèves... Tant qu'elle leur est
accessible
   

Jean-Luc Giaco a écrit :

Pour le fait parler de tangente comme position limite d'une suite de
cordes, c'est vrai que c'est un peu un abus de langage, mais c'est
exactement ce que propose Jean-Pierre (difficile d'être en désaccord) :
on donne d'abord du sens, quitte à être approximatif, puis, une fois
que les élèves ont une représentation assez solide, on donne
(éventuellement) une définition rigoureuse.

Reste qu'on pourrait très bien donner une définition rigoureuse de
limite d'une suite de droites, par exemple, Dn tend vers D si en
choisissant deux points A et B sur D, et r aussi petit qu'on veut, les
deux boules ouvertes (A;r) et (B;r) contiennent chacune un point de Dn pour n assez grand.

Ça doit marcher. Est-ce que c'est pédagogique, certainement non, mais c'est une autre histoire.

Aucune raison pour que ça ne marche pas... Mais ça reste une définition
par "proxy", exactement comme celle par les pentes : sauf que tu te sers
d'une suite de points au lieu d'une suite de nombres.

Et ça me paraît moins pédagogiquement justifiable que de passer par une
suite de pentes... Mais peut-être ai-je tort ?

Amicalement,
--
Philippe Colliard

[Mateo]

Jacques Lavau a écrit : (...)

Rudolf Bkouche a répondu :

Théologiens contre théologiens.

Il y a un rapport profond entre mathématiques et physique.
Il ne faut pas oublier que la géométrie est aussi une science physique et que
c'est cet aspect qui manque dans l'enseignement des mathématiques actuel.
Cela permettrait de comprendre le principe d'égalité par superposition et le rôle des cas d'égalité des triangles.

Quant à la mécanique quantique, elle mêle mathématiques et physique.
C'est le physicien Pauli qui expliquait, faisant référence à la théorie de la relativité et à la mécanique quantique :

"The concept of the state of motion of the « luminiferous aether »,
as the hypothetical medium was called earlier, had to be given up,
not only because it turned out be unobservable,
but because it became superfluous as an element of a mathematical formalism,
the group theorical properties of which would only be disturbed by it."   

"Again, these concepts (classical field, orbits of particles) are rejected,
not only because the orbits are unobservable,
but also because they became superfluous and would disturb the symmetry
inherent in the general transformation group underlying the mathematical formalism of the theory."

Et Heisenberg expliquait :

"L'idée que les mathématiques pouvaient en quelque sorte s'adapter à des objets de notre expérience me semblait remarquable et passionnante."

Quant à Newton, on peut gloser autour de la question : était-il mathématicien ou physicien ? Cette question n'a pas de sens.

Et lorsque Denis Chadebec nous rappelle que les mécaniciens médiévaux représentaient les distances par des aires, parle-t-il en physicien ou en mathématicien ?

Il est vrai que la lettre rappelle une rupture qui remonte à la réforme des mathématiques modernes, l'enseignement d'une mathématique dite pure qui a oublié ses liens avec la physique.
Peut-être faut-il regarder plus loin que les questions pédagogiques pour retrouver des rapports consistants entre l'enseignement des mathématiques et l'enseignement de la physique.

Il faut distinguer les querelles entre mathématiciens et physiciens, qui sont des querelles de théologiens,
et les liens entre sciences mathématiques et physique.
--
Rudolf Bkouche

[Mateo]

Philippe Colliard a écrit :

Bonjour Rudolf,

  peut-être est-ce le moment (pour moi !) de redire que, si la
construction axiomatique de "... Donc, d'après..." est dans l'esprit des
"maths modernes", j'ai tout de même passé le 80 premières pages du livre
(sur 300) à essayer de définir les éléments géométriques à partir de
notre univers physique

  Et non, ce n'est pas pour faire de la pub, mais bien pour abonder dans
ton sens - ça m'arrive - tout en pensant qu'on peut pédagogiquement
concilier les deux approches !

  Amicalement,
--
  Philippe Colliard

[Mateo]

Jacques Lavau a écrit (...)

Jean-Luc Giaco a écrit :

Oui, comme D. P., je pense que cette réaction fleure bon la provoc'.
Rien que la première phrase me fait sourire :

"Ce qu'il y a de terrible avec vous autres matheux, est que vous vous dispensez de préciser à vos élèves que le
monde que vous enseignez est un monde de pensée, totalement artificiel et déconnecté de la réalité physique."

Alors Galilée s'est trompé, le monde n'est pas écrit en langage mathématique,
et avec lui, Newton, Gauss, Maxwell, Poincaré, Einstein, Heisenberg & Co.

Il y a même des physiciens qui prétendent que l'Univers est un objet mathématique.
http://www.larecherche.fr/actualite/mathematiques/max-tegmark-essence-du-monde-est-mathematique-22-07-2014-178822

L'idée que "les matheux" seraient responsables des apories de la physique contemporaine m'apparaît
assez audacieuse. Comme si on pouvait, par ailleurs, tracer une frontière nette entre physique et maths.

Je laisse tomber la polémique, j'ai juste une petite question à notre ami physicien :
Qu'est-ce qu'il entend par "réalité physique" ?
J'avoue que cette expression n'a pas de sens pour moi, la réponse m'intéresse donc au plus haut point.
--
Jean-Luc Giaco

[Mateo]

Jean-Luc Giaco a écrit :

Bonjour aussi Philippe...

Philippe Colliard a écrit :

... Mais quand tu écris, qq lignes plus bas, que les termes "se
rapprochent", que fais-tu ?
Même si tu les fais bouger entre guillemets

Touché. Tu as raison, la version "cinématique" sous-tend certainement ma compréhension de la chose.
Mais ce n'est pas un problème pour moi... avec ou sans Laziza...

Philippe Colliard a écrit :
"Si les termes « se rapprochent » (forme active) … Ils BOUGENT
"

Je comprends. Il y a peut-être une ambiguïté qu'il faudrait dissiper.
Pour moi, "ils se rapprochent" veut dire "ils sont de plus en plus proches", pas "ils se déplacent".

Au départ, j'ai tendance à penser que pour les élèves, c'est un peu pareil, mais par expérience,
je sais qu'on n'est jamais trop précis. Ça me rappelle une discussion, ici même, sur les abus de langage,
dans laquelle je défendais l'idée qu'on n'est jamais sûr qu'un abus de langage soit sans conséquence.
Donc, je te concède volontiers ce point.

J'élimine donc "quand n augmente, u_n se rapproche de a" au profit de "quand n augmente,
u_n est de plus en plus proche de a."

Philippe Colliard a écrit :
 "Elle n'est pas visuellement moins simple. Ce qui me retient, là, c'est
que la vision "boules" n'est pas plus complexe, et elle ne réduit pas à
la droite des réels ce qu'un humain peut aussi bien concevoir ds un espace
de dim 3."

Pour moi, le problème n'est pas de parler "boules" ou "tubes", dimension 1, 3 ou 20. C'est pareil.
Le problème est de considérer les termes de la suite l'un après l'autre, ou tous en même temps.
À mon sens, les deux notions doivent être assimilées toutes les deux, elles sont complémentaires.

À cet égard, je te propose l'exemple suivant. Je l'ai trouvé dans Dixmier. (Cours de mathématique du premier cycle.
Oui, j'aime beaucoup le Dixmier. Sa sobriété est aux antipodes du bavardage à la Arnaudiès.)

Il faut montrer que de toute suite réelle, on peut extraire une suite monotone.

Je pars donc d'une suite (u_n), et  je considère l'ensemble E des  u_n qui majorent tous leurs successeurs
(u_n>=u_p pour tout p >n.)

De deux choses l'une, soit E est fini, soit non.

Si E est fini, je prends les successeurs de son dernier terme. Aucun de ceux-ci ne majore tous ses successeurs.
Donc, pour chacun noté u_n, je trouve p>n tel que u_p>u_n. De façon récursive, je construis ainsi une suite croissante.

Si E est infini, je prends dans l'ordre tous les éléments de E, ils majorent tous leurs successeurs,
je construis ainsi une suite décroissante.


Ce qui est intéressant, c'est qu'ici, il y a les deux aspects. On considère les termes l'un après l'autre ou en bloc,
suivant l'endroit de la démonstration.

"Oui, ces 2 formulations me paraissent kif-kif Je ne les trouve en
réalité ni statiques ni cinématiques... Et ce qui me dérange ici, c'est
encore cette idée implicite que les "x" et les "f(x)" sont actifs."

Bon, là... J'ai quand même l'impression que c'est assez subjectif. Il faudrait faire un sondage: selon vous, est-ce-que les x sont actifs? :-)

"Je continue donc à préférer : Quelle que soit la boule centrée en b,
il existe une boule centrée en a dont l’image par f est contenue dans cette boule.
ça demande peut-être un effort de réflexion plus fort (je n'en sais rien),
mais ça remet les objets à leur place d'objet, les observateurs-penseurs à leur place
d'observateur-penseur - et ça aide à prendre - à mon idée - de bonnes habitudes

Je ne crois pas qu'on doive craindre qu'une expression rigoureuse soit
nécessairement rébarbative pour les élèves... Tant qu'elle leur est
accessible "

Sur le principe, je suis assez d'accord,
mais on ne peut pas nier non plus la nécessité d'observer une gradation dans la difficulté.

Ta formulation me paraît quand même assez abstraite pour des élèves de lycée.
Pour mes élèves actuels, elle serait tout simplement incompréhensible
(bon, cela dit, j'enseigne dans un lycée de 17e zone.)
--
Jean-Luc Giaco

[Mateo]

V. T. a écrit :

J’ai perdu un peu le fil de qui a dit quoi et il est possible que ce que j’écrive l’ai déjà été par d'autres …

Mais les formulations suivantes :

J'élimine donc "quand n augmente, u_n se rapproche de a" au profit de "quand n augmente,
u_n est de plus en plus proche de a."

ne me satisfont pas, quand je monte sur ma chaise, je suis de plus en plus proche du soleil,
ce qui ne signifie pas que je tende vers lui.

Il manque l’essentiel qui est « d’aussi près qu’on veut » !

De même je n’ai jamais compris pourquoi pour les élèves une asymptote ne devait jamais toucher la courbe,
ou alors la courbe de la fonction qui à x associe sin(x)/x ne posséderait pas d’asymptote au voisinage de plus l’infini ?

Désolé pour le bruit si propos non pertinents ;-)

V. T.

[Mateo]

Jean-Luc Giaco a écrit :

Bonjour Denis Chadebec, j'ai deux petites remarques...

Denis Chadebec a écrit :

"Cette approche de la dérivée est source de nombreuses demandes d'aide d'élèves en première.
L'approche classique - la position limite d'une sécante quand un des points de contact se rapproche
de l'autre - laisse perplexe une minorité conséquente de "décrocheurs".
En effet, pour eux, trois faits les troublent.

1- Ils savent que par deux points passe une droite unique.
2- Ils savent aussi que par un point passent autant de droites qu'on veut, c'est-à-dire une infinité.
3- Le quotient zéro / zéro est défini comme solution de l'équation 0 x = 0 alors que l'ensemble
de ces solutions est R tout entier."

Il faut être clair. Ils sont perplexes parce que c'est une vraie difficulté.
Il est tout à fait normal qu'ils pédalent un peu dans la semoule à ce moment.

La question, pour moi, est plutôt la suivante :
y a-t-il une explication qui permette de déjouer à moindre coût cette difficulté conceptuelle ?

À ce sujet, tout le monde n'est pas du même avis.

Pour moi, je pense qu'il n'y a pas de passage secret ni de baguette magique.
L'idée de limite, et les infiniment grands ou petits forment un problème irréductible.
On peut cacher les difficultés conceptuelles sous le tapis, mais elles ressurgiront plus tard.

C'est pourquoi je ne suis pas d'accord, par exemple, avec J. P. G.,
à propos des nombres hyperréels et de l'analyse non standard.
Les énoncés et les démonstrations semblent plus simples, mais cette simplicité, selon moi, est trompeuse.

Ce n'est pas seulement que la construction rigoureuse soit assez technique, on peut la remettre à plus tard,
comme pour beaucoup de notions vues au lycée. C'est que les objets qu'on manipule (infinitésimaux, etc.)
ne me semblent pas si intuitifs que ça...
Mais bien sûr, ce n'est que mon avis...

" En effet, si on représente une fonction f(x) non pas par une ordonnée en fonction d'une
abscisse (Bradwardine, Oresme), mais par l'aire délimitée par l'axe des abscisses, deux parallèles à l'axe des
ordonnées (le repérage du plan étant bien entendu orthonormé) et un segment de courbe, alors f(x) est de
toute évidence dérivable, la dérivée étant une nouvelle fonction représentée par l'ordonnée en fonction de
l'abscisse en suivant la courbe. J'insiste sur le "de toute évidence" ..."

L'évidence, en maths... c'est rare

Le problème de ta construction, c'est "le segment de courbe". Comment définis-tu une courbe?
Je pense que la fonction dérivée que tu essaies d'attraper comme résultat se cache en fait au
début de ta construction... car c'est elle qui te permet de définir la courbe en question.
D'ailleurs tu parles de f'(x) avant de l'avoir définie, dans ton histoire de rectangles.

En outre, tu oublies que ton segment de courbe doit correspondre au graphe d'une fonction
(pas de points différents ayant la même abscisse.) Sinon, il y a un problème avec les rectangles.

Par ailleurs, il faudrait pouvoir définir l'aire sous la courbe. Ça, c'est en général pénible.

Le problème n'est pas que théorique. Parce qu'il y a des courbes qui ne délimitent pas une région
pour laquelle on puisse facilement définir une aire. Toutes les courbes fractales, violemment discontinues.
Dans ce cas, tes deux rectangles restent de hauteur différente, même si la base tend vers 0.
Autrement dit, ton min f'(x) et max  f'(x) n'ont pas de raison d'avoir la même limite.

Bref... je pense que ça peut éclairer en chemin, mais ça ne résout pas toutes les difficultés.
--
Jean-Luc Giaco

[Mateo]

Jaques Lavau a écrit :

Jacques Lavau a écrit : (...)

Rudolf Bkouche a répondu :

Théologiens contre théologiens.
Et Heisenberg expliquait :

--
Rudolf Bkouche

Wernher Heisenberg, par sa falsification des propriétés de la transformation de Fourier, et par sa falsification de l'histoire, est l'auteur principal de l'inavouable merdier actuellement enseigné (avec un rendement inavouable) par les héritiers de sa clique Göttingen-København.

On peut le faire passer pour une référence auprès des ignares, certes. Mais pas à mes yeux.
La physique, je ne me contente pas de la répéter, je sais la faire.

Références :
http://citoyens.deontolog.org/index.php/topic,1285.0.html
http://citoyens.deontolog.org/index.php/topic,1141.0.html
 http://deonto-ethics.org/resources/physique/Unorthodoxy.odt
etc. Notamment http://deonto-ethics.org/quantic/index.php?title=Microphysique_:_ondulatoire_ou_poltergeist_%3F

[Mateo]

Jean-Luc Giaco a écrit :

L'évidence, en maths... c'est rare

Denis Chadebec a répondu :

En effet ! Mais ici, je désigne par le mot "évidence" le sentiment chez les élèves que le fait
que je viens de leur énoncer "va de soi" suite à le lecture de la figure et non un fait
mathématique rigoureux qu'on devine sans avoir à le démontrer.

Jean-Luc Giaco a écrit :

Comment définis-tu une courbe ?

Comme une ligne tracée sans lever le crayon ! N'oublies pas que je suis physicien !
La seule précaution à prendre, c'est que la ligne tracée ne rebrousse pas chemin en abscisse !

fonction dérivée que tu essaies d'attraper comme résultat

Que nenni ! Il s'agit simplement de la position classique d'un problème de géométrie :
"soit la représentation graphique d'une fonction f(x) (c'est-à-dire tracée sans lever le crayon)
par l'aire sous la représentation graphique d'une autre fonction f '(x) continue.

Tracer deux parallèles à l'axe des ordonnées distantes en abscisses d'une longueur h.
Que pouvons dire de la limite (si elle existe) du quotient f(x + h) - f(x) / h quand h tend vers zéro ?".
Cette réponse concerne aussi ta remarque :

Tu parles de f '(x) avant de l'avoir définie, dans ton histoire de rectangles.

Jean-Luc Giaco a écrit :

Il faudrait pouvoir définir l'aire sous la courbe. Ça, c'est en général pénible

Encore une fois, je démarre comme un physicien : la figure montre des surfaces. Alors, en revenant aux Grecs antiques :
- l'aire d'un rectangle est la multiplication de la longueur par la largeur,
- l'aire d'une réunion de deux surfaces est la somme de leurs aires,
- si une surface (A) est incluse dans une autre (B), alors l'aire de (A) est plus petite que celle de (B).
- On pourrait ajouter aussi ceci : si une suite de surfaces a comme limite une surface (S) alors la suite des aires correspondantes tend vers celle de (S).
C'est simple, mathématiquement correct et intuitif, et ça suffit en lycée.

Le problème n'est pas que théorique. Parce qu'il y a des courbes qui ne délimitent pas une région pour laquelle on puisse facilement définir une aire.
Toutes les courbes fractales, violemment discontinues. Dans ce cas, tes deux rectangles restent de hauteur différente, même si la base tend vers 0.
Autrement dit, ton min f'(x) et max  f'(x) n'ont pas de raison d'avoir la même limite.

Dans la position du problème, je parles d'une fonction f '(x) CONTINUE !!!

Conclusion : ça peut bien plus qu'éclairer en chemin !
--
Denis Chadebec

[Mateo]

Rudolf Bkouche a écrit :

Tout à fait d'accord.
Si on n'accepte pas la notion intuitive d'aire, on ne va pas loin.
Et on ne comprend pas le rapport entre la notion d'aire chez Euclide
et la théorie de la mesure de Lebesgue.

une remarque : lorsque Denis dit qu'il démarre comme un physicien,
il oublie qu'un mathématicien démarre de la même façon.
Qu'est-ce que la continuité ? Si on n'a pas une notion intuitive de la continuité,
on ne comprend rien au discours de Weïerstrass.
--
Rudolf Bkouche

[Mateo]

De même je n’ai jamais compris pourquoi
pour les élèves une asymptote ne devait jamais toucher la courbe,
ou alors la courbe de la fonction qui à x associe sin(x)/x ne posséderait
pas d’asymptote au voisinage de plus l’infini ?

V. D. a répondu :

On touche là à l’intuition.
C’est apparemment plus facile pour un néophyte de « concevoir »
une droite dont la courbe se rapproche sans la toucher
que de concevoir une droite vérifiant y-f(x) tend vers 0 au voisinage de +?

de plus l’étymologie est trompeuse comme pour beaucoup d’autres mots
mathématiques (et à quand un remplacement du mot « direction » d’un
vecteur pour un truc plus clair style « inclinaison » ?
--
V. D.

[Mateo]

Denis Chadebec a écrit :

"L'évidence, en maths... c'est rare" : en effet ! Mais ici, je désigne par le mot "évidence"
le sentiment chez les élèves que le fait que je viens de leur énoncer "va de soi" suite à la
lecture de la figure et non un fait mathématique rigoureux qu'on devine sans avoir à le
démontrer.

Oui. Ok. Je comprends mieux.
Le doute est aussi nécessaire en science, mais tu as raison,
on peut le mettre de côté dans un premier temps.

Toutefois, même au lycée, il faut un peu de rigueur.
Ce n'est pas une simple fantaisie, une coquetterie d'esthète.
C'est le seul moyen d'éviter d'écrire trop de c...ries.

"...fonction dérivée que tu essaies d'attraper comme résultat" : Que nenni !
Il s'agit simplement de la position classique d'un problème de géométrie : "soit la représentation
graphique d'une fonction f(x) (c'est-à-dire tracée sans lever le crayon) par l'aire sous la
représentation graphique d'une autre fonction f '(x) continue.

Tracer deux parallèles à l'axe des ordonnées distantes en abscisses d'une longueur h.
Que pouvons dire de la limite (si elle existe) du quotient f(x + h) - f(x) / h quand h tend
vers zéro ?". Cette réponse concerne aussi ta remarque : "Tu parles de f '(x) avant de
l'avoir définie, dans ton histoire de rectangles".

D'accord, je crois que je commence à comprendre.
Tu donnes d'emblée deux fonctions, f et f',
le lien entre les deux étant de nature géométrique (surface-courbe),
et tu en déduis que les valeurs de l'une sont obtenues comme limite du taux de variation de l'autre.

En réalité, si je suis bien, ça revient à définir d'abord l'intégrale, puis en déduire la dérivée.
Ça me paraît tordu, mais c'est peut-être que j'ai toujours vu, dans tous mes cours de maths,
les deux notions étudiées dans l'ordre contraire.

Évidemment, il faudra bien qu'un jour tu fasses le lien avec la tangente, et là,
les problèmes qui embarrassent tes élèves
(droite définie par un seul point, indétermination 0/0, etc.) vont se reposer de la même façon.

Conclusion : ça peut bien plus qu'éclairer en chemin !

Ainsi soit-il ! Mais les calculs de limite, il va falloir te les farcir quand même
--
Jean-Luc Giaco

[Mateo]

Rudolf Bkouche a écrit :

une remarque : lorsque Denis dit qu'il démarre comme un physicien, il oublie qu'un mathématicien démarre de la même façon.
Qu'est-ce que la continuité ? Si on n'a pas une notion intuitive de la continuité, on ne comprend rien au discours de Weïerstrass.

Tout à fait d'accord. Et je ne demande certainement pas de rejeter l'intuition. Ce serait absurde. Au début, on n'a que ça.

Mais il ne faut pas non plus laisser passer des idées fausses sous prétexte d'être simple et intuitif.
Quand j'entends qu'une fonction est continue si on peut tracer la courbe sans lever le crayon... désolé, mais ça me met de mauvaise humeur.
L'intuition doit s'exercer sur des objets idéaux, pas des représentations.

J-Luc.

[Mateo]

Rudolf Bkouche a écrit :

L'intuition s'exerce sur les objets que l'on rencontre, quels qu'ils soient.
On peut se tromper et cela arrive souvent, mais l'intuition est un point de départ.
Mais c'est aussi un point d'arrivée dans la mesure où le détour rationnel conduit à de nouvelles formes d'intuition.

La question est de travailler à la fois avec l'intuition et avec la logique.
Je renvoie à la phrase de Hilbert que j'ai citée dans un mail précédent. Et Klein écrivait :

"Il ne faut pas toutefois se départir de cette pres­cription qu'une question
ma­théma­tique ne doit pas être consi­dérée comme complètement épuisée alors qu'elle n'est
pas en­core devenue intuitivement évidente ; découvrir au moyen de l'Analyse, c'est bien faire
un pas très important, mais ce n'est faire que le premier pas."

C'est quand cela devient intuitivement évident qu'on peut dire qu'in a compris.
Quant à savoir ce qu'est un objet idéal, je pense que c'est bien plus difficile qu'on le dit.

Dire qu'on travaille sur des objets idéaux est bien vague. Par contre on construit des objets idéaux,
mais c'est le raisonnement qui conduit à construire des objets idéaux.

C'est bien parce que les élèves qui apprennent la géométrie travaillent sur des triangles dessinés,
raisonnent sur ces triangles dessinés, qu'ils arrivent à la notion de triangle idéal.
--
Rudolf Bkouche

[Mateo]

Jean-Luc Giaco a répondu :

Très intéressant.

Je suis tout à fait d'accord avec vous pour le début de votre texte.
En particulier "La question est de travailler à la fois avec l'intuition
et avec la logique." Oui, bien sûr. Et toute la difficulté est de tenir
les deux bouts.

Quand à la citation de Klein, je suis (avec tout le respect que je
lui dois) de son avis, si ce n'est que certaines questions ne seront
effectivement jamais épuisées en ce sens.

Par exemple, les propriétés de R, l'équipotence avec un segment,
le fait que Q soit de mesure nulle, les ensembles non mesurables,
les fonctions continues dérivables nulle part, etc...

Je peux comprendre la démonstration, mais ce ne sera jamais
"intuitivement clair" pour moi.

J'admets que savoir ce qu'est un objet idéal est difficile.
J'aurais bien une définition : un objet qui n'existe que dans ma
tête, mais je reconnais qu'elle est quelque peu grossière.
En revanche, il est assez facile de savoir ce que n'est PAS un
objet idéal. Pour moi, un dessin n'en est pas un, clairement.

C'est le raisonnement qui permet de construire des objets idéaux.
Souvent, d'accord. Je pense toutefois que certains objets idéaux
sont créés directement par l'intuition. L'espace, le temps, les
nombres entiers... On peut les définir de façon formelle,
mais ça n'ajoute rien à l'idée que nous en avons (désolé pour ce
vocabulaire un peu vague).

Par contre, pour une fois, je suis en complet désaccord avec vous
quand vous dites : "C'est bien parce que les élèves qui apprennent
la géométrie travaillent sur des triangles dessinés, raisonnent sur
ces triangles dessinés, qu'ils arrivent à la notion de triangle idéal."

Non seulement je pense qu'on ne raisonne pas sur les triangles
dessinés, mais que raisonner sur le dessin est un obstacle.
Il est évident que "sur le dessin", deux droites ne sont jamais
parallèles, elles ne sont d'ailleurs pas droites, les traits ont une
certaine épaisseur, ils sont bornés, etc. Le dessin est un support,
mais rien que cela, et c'est la faculté de s'en distancer qui
permet réellement de parvenir à l'objet idéal que nous
cherchons à construire.

Vous avez dit vous-même (à très juste titre) qu'on ne peut pas
étudier d'emblée le réel, parce qu'il est beaucoup trop compliqué,
et qu'il faut commencer par en faire des modèles simplifiés,
qu'on pourra enrichir au fur et à mesure, chaque pas en
direction du réel se traduisant par une difficulté supplémentaire.

C'est exactement ce que je pense pour le triangle.
L'élève travaille peut-être sur le triangle dessiné,
mais il raisonne sur le triangle idéal, parce que celui-ci
est suffisamment simple pour qu'il puisse en dire quelque chose.
--
Jean-Luc Giaco