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Auteur Sujet: La notion de limite en mathématiques  (Lu 10732 fois)

Mateo

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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #30 le: 03 novembre 2014, 06:09:44 am »

Citer
Philippe Colliard a écrit :

Bonsoir Jean-Luc (et re-bonsoir Rudolf),


Citer
Non seulement je pense qu'on ne raisonne pas sur les triangles dessinés,
... ... ...
L'élève travaille peut-être sur le triangle dessiné,
mais il raisonne sur le triangle idéal,
parce que celui-ci est suffisamment
simple pour qu'il puisse en dire quelque chose.

Juste pour dire que je pense partager ta conception de l'enseignement de la géométrie :)

(un a parte : je n'ai pas voulu continuer la discussion sur les limites,
pour des raisons de temps. Mais j'ai beaucoup apprécié ta participation
:) ... Et il me semble que notre enseignement s'est fortement
"superficialisé" en 40 ans. Tu n'y peux rien !)

Très cordialement,
--
Philippe Colliard
Mateo
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Mateo

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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #31 le: 03 novembre 2014, 06:22:06 am »
Citer
Rudolf Bkouche a écrit :

Je sais que les didacticiens dans les années quatre-vingt posait la question
du rôle de la figure dans la démonstration géométrique. C'était intéressant,
car on pourrait ajouter le rôle du mouvement dans l'étude de la mécanique
et encore plus difficile le rôle de la chaleur dans l'étude de la thermodynamique.

On peut continuer. Dire que le dessin est un support est une invention
remarquable, cela permet de ne pas comprendre ce que l'on fait.

Raisonner permet de se débarrasser du dessin, mais pour se débarrasser
de quelque chose il faut commencer par l'avoir. Il est vrai que l'on aime
opposer la connaissance empirique et la connaissance rationnelle,
cela fait bien, même si on sait que l'on travaille toujours au carrefour,
que l'on soit élève ou mathématicien.

Quant à ce que vous appeler "la faculté de se distancer",
c'est quelque chose qui s'apprend et c'est comme cela que l'on arrive à
penser des objets idéaux. Si on ne passe pas par le dessin, on ne peut
connaître les objets idéaux.

On ne connaît pas le réel, on en construit des représentations plus ou
moins fines, et c'est le rôle de la science d'en construire des représentations.

Il ne s'agit pas de modèles simplifiés, il s'agit de préciser à chaque fois
les connaissances en jeu, connaissances que l'on affine au fur et à mesure.

Ce qu'il y a au bout, on ne le sait pas. Lagrange pensait à la fin du XVIIIème
siècle que l'on savait tout sur les mathématiques et à la fin du XIXème siècle,
un physicien expliquait qu'il ne restait en physique que deux petits problèmes,
l'avance du périhélie de Mercure et le rayonnement du corps noir.

Ces deux petits problèmes ont transformé la physique du XXème siècle.
Mais malgré cela, pour étudier un système mécanique on utilise
toujours la mécanique rationnelle de Newton et Lagrange.

Un élève qui apprend la géométrie raisonne sur les figures et le rôle de
l'enseignement c'est de l'amener à dépasser la figure ;
c'est ce dépassement qui permet d'appréhender la notion d'objet idéal.
Avant ce travail, la notion d'objet idéal ne représente rien pour l'élève.

C'est justement parce qu'il raisonne qu'il peut appréhender la notion
d'objet idéal. Et puis on sait qu'un objet idéal se transforme au fur et
à mesure que s'étendent les connaissances.

Qu'est-ce que cela veut dire que l'espace ou le temps sont des objets idéaux ?

rudolf
Mateo
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #32 le: 03 novembre 2014, 12:53:44 pm »
Citer
Citer
Jean-Luc Giaco a écrit :

En réalité, si je suis bien, ça revient à définir d'abord l'intégrale,
puis en déduire la dérivée. Ça me paraît tordu, mais c'est peut-
être que j'ai toujours vu, dans tous mes cours de maths, les deux
notions étudiées dans l'ordre contraire
Denis Chadebec a répondu :

Bien venu au club ! Il m'a fallu des années scolaires
avant que je commence à comprendre où se situait le blocage
psychologique de cette importante minorité d'élève.

C'est en fait suite à un séminaire sur l'histoire de la physique sous
la conduite de Bernard Pourprix (académie de Lille), aujourd'hui
en retraite que j'avais commencé à étendre aux mathématiques
cette investigation.

En effet, si les antiques n'avaient pas pu prolonger leur intuition
géométrique sur le mouvement au-delà des cas idéalisés de la
vitesse constante (distance = v t), les médiévaux, au moins à
partir du XIIIe siècle, ont considéré v t comme une aire de
surface d'où l'idée de représenter une longueur par une aire.

Nous sommes bien dans un contexte de conceptualisation de la
primitive qui a précédé celui de la dérivée. Mais comme tous les
adolescents préparant le baccalauréat, j'au eu droit à devoir
"avaler" l'intuition de la tangente donnant la dérivée.

Ma gêne n'était pas là, fort heureusement, mais un peu plus loin
quand on nous refusait la démonstration du théorème des
accroissements finis.

Les démonstrations du tableau des dérivées des fonctions
canoniques du programme avec passage à la limite sont quand-
même facilitées par cette certitude psychologique de l'existence
des dérivées initiées sans usage préalable de formule d'analyse.

Après tout, ce ne sont que des cas particuliers qui ont l'avantage
d'être calculables. Mieux : c'est une opportunité de gain de temps
de cours.

Une fois compris trois exemples (x², a x + b et 1 / x par exemple)
les élèves acceptent l'énoncé des autres cas sans démonstration.

Par contre, les généralités comme u v, u^n, ou u / v doivent être
détaillées.

Venons-en au lien entre dérivée et tangente. En soutien scolaire
(pas en classe, faute de temps et en raison d'une bonne entente
avec mes collègues de mathématiques), je m'y prend ainsi.

Après l'établissement psychologiquement solide que les fonctions
dérivables existent, je reprend la démonstration de l'équation
d'une droite connaissant les coordonnées de deux de ses points.

Non pas la méthode consistant à la recherche des coefficients a et
b de la forme canonique "collégienne" y = a x + b, mais à partir
d'une combinaison logique du principe géométrique de Thalès et
des coordonnées des flèches (le vecteur, on verra éventuellement
plus tard).

Cela donne
y - f(a) = [f(b) - f(a) divisé par b - a] (x - a), ce qui apporte
l'avantage psychologique de la simplicité apportée par l'usage des
tableaux de proportion, et celui d'inclure naturellement  le cas
limite du parallélisme avec l'axe des ordonnées.

Ce travail de retour sur un prérequis est fait totalement
indépendamment du contexte d'utilisation qui suit.

Mais dans le cas d'application à la sécante, il faut prendre soin du
lettrage car il faut rappeler aux élèves que cette équation suit la
sécante et non la courbe.

Il faut donc renommer les différences et écrire
y - f(a) = DELTA y , f(b) - f(a) = delta f , delta x = b - a et x - a = dx , donc
DELTA y = [delta f / delta x] dx,
le dx étant aussi grand qu'on veut.

Ensuite on passe à la limite à partir de l'hypothèse que f est
dérivable en x = a, ce qui donne directement
DELTA y devenant dy = f '(x) dx.

Géométriquement et en pensée (je déteste me servir de
géométrie dynamique à ce moment-là, car trop de temps est
passé pour parler du rôle du logiciel, ce qui "casse" la chaîne
d'efforts réussis d'assimilation de la logique de ce très important
sujet de cours) je demande aux élèves d'imaginer ce qui se
passerait si le delta x tend vers zéro.

C'est là encore que se manifeste la libération psychologique de
l'investigation théorique de ces élèves en leur demandant de
mettre en œuvre leur logique et leur pensée personnelle (au lieu
de leur demander d'entrer dans la logique d'une autre personne,
fut-elle leur professeur ou une célébrité des mathématiques)
parce qu'aucun "décrocheur" ne s'est trompé en donnant la
réponse : pour eux, la conviction que la sécante atteint une
position limite nommée tangente en x = a, est ferme.

Toutes les difficultés avec les tableaux de variation sont alors éliminées.
Autre avantage : la facilité pour démontrer la dérivée d'une fonction de fonction.
--
Denis Chadebec
Mateo
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #33 le: 03 novembre 2014, 03:54:51 pm »
Citer
Jean-Luc Giaco a écrit :

D'abord : tout le plaisir était pour moi. Et ensuite : oui,
l'enseignement s'est superficialisé. En réalité, ce qui me frappe,
c'est qu'on qu'on a beaucoup abandonné, mais on n'a pas gagné
grand chose.

Les mathématiques enseignées sont bien moins rigoureuses,
mais à mon sens, elles ne sont pas plus intuitives. Et ça, c'est
quand même un échec.

Pour moi, je n'aurais pas de gros problème de conscience à
traiter des problèmes de robinets qui fuient ou de trains qui
se croisent, comme au certif' d'antan. C'est concret et intuitif.

Mais j'emploie un langage bien technique et ampoulé (continuité,
convexité, variable aléatoire à densité) pour ne pas dire grand
chose d'intéressant au final. Comme dit Pascal (Blaise), c'est dire
de petites choses avec de grands mots.

La palme revenant au théorème de Moivre-Laplace.

Beaucoup de bruit pour rien...
À bientôt.
--
Jean-Luc Giaco
« Modifié: 03 novembre 2014, 04:12:52 pm par Mateo »
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #34 le: 03 novembre 2014, 04:06:23 pm »
Citer
Citer
Rudolf Bkouche a écrit :

"Raisonner permet de se débarrasser du dessin, mais pour se débarrasser de quelque chose il faut commencer par l'avoir."

Jean-Luc Giaco a répondu :

Notez que je n'ai pas dit le contraire.


Citer
" Il est vrai que l'on aime opposer la
connaissance empirique et la connaissance rationnelle,
cela fait bien, même si on sait que l'on travaille toujours
au carrefour, que l'on soit élève ou mathématicien."

Rudolf, vous me faites un mauvais procès...
Je n'ai jamais opposé les deux. Et je vais vous taquiner.
Vous me demandez ce que c'est qu'un objet idéal, je vous
demanderai votre définition de la connaissance empirique
et de la connaissance rationnelle. Et la différence entre les deux.
Pas si simple non plus, reconnaissez-le...


Citer
" Quant à ce que vous appelez "la faculté
de se distancer", c'est quelque chose qui s'apprend et c'est
comme cela que l'on arrive à penser des objets idéaux.
Si on ne passe pas par le dessin, on ne peut connaître les
objets idéaux."

C'est très juste. Ça n'empêche pas que l'élève
étudie les propriétés du triangle "idéal" (pardonnez moi,
je ne sais pas comment le dire autrement), pas du dessin
du triangle. Il le fait très progressivement, bien sûr.

Platon expliquait déjà, je crois, qu'on passe progressivement de la représentation des idées aux idées elles-mêmes.


Citer
"Qu'est-ce que cela veut dire que l'espace ou le temps sont des objets idéaux ?"

Je suppose que ça signifie qu'il sont des production
de ma pensée, qu'ils ne proviennent pas directement des sens.

Mais je peux vous poser la même question, puisque vous
employez aussi ce mot. Je suis prêt à adopter votre définition.

Ce que je veux dire surtout, c'est que l'espace et le temps ne
sont pas des objets créés par le raisonnement. Ils préexistent
au raisonnement logique.

Ce sont des données immédiates de la conscience.
Il faut aller voir Kant, je sais qu'il a bien expliqué ces choses-là,
bien mieux que je ne pourrais le faire, évidemment.

Il en va autrement, je pense, de l'énergie, de la masse,
du principe d'inertie... ou des nombres réels.
Objets dont le caractère "construit" me paraît manifeste.
--
Jean-Luc Giaco
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #35 le: 03 novembre 2014, 04:13:07 pm »
Citer
Jean-Luc Giaco a écrit :

Juste deux petits trucs (j'ai tout lu avec attention)...


Citer
Denis Chadebec a écrit :

"Ensuite on passe à la limite à partir de l'hypothèse que f est
dérivable en x = a, ce qui donne directement
DELTA y devenant dy = f '(x) dx."

Là, je n'ai pas bien compris où est le passage
à la limite, limite de quoi et en quoi ?


Citer
"Géométriquement et en pensée (...)
je demande aux élèves d'imaginer ce qui se passerait si
le delta x tend vers zéro."

J'ai l'impression que tu cherches la limite de
[f(b)-(f(a)]/[b-a] quand b - a tend vers 0.
Est-ce que je me trompe ?

Mais si c'est le cas, quelle est la différence avec l'exposé
habituel de première ?

Si ce n'est que d'habitude, on précise bien qu'une des valeurs
(a, par exemple) est fixée.

Jean-Luc Giaco
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #36 le: 03 novembre 2014, 09:21:48 pm »
oui, c'est exactement ça.

Citer
Mais si c'est le cas, quelle est la différence avec l'exposé habituel de première ?

Aucune. C'est une conséquence de ma manie de tout expliquer,
même à un collègue qui le sait et le pratique depuis longtemps :
c'est à en devenir impoli, et je t'en présente mes excuses.

Par contre, je ne sais pas si tu fais l'équation de la tangente avant les tableau de variation comme moi.
L'idée est de pouvoir me servir le plus tôt possible de l'écriture différentielle en mécanique.
--
Denis Chadebec[/quote]
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #37 le: 03 novembre 2014, 09:26:43 pm »
Citer
je ne vous fait aucun procès, j'essaie de m'expliquer.
Le connaissance empirique c'est celle que l'on acquiert par les sens ou plus généralement par l'expérience,
au sens le plus flou du terme. Si elle est un point de départ, elle est insuffisante, elle ne donne aucune explication.

La connaissance rationnelle se construit via le raisonnement, mais pour raisonner,
il faut d'abord raisonner sur quelque chose. C'est justement parce que l'on raisonne que l'on dépasse la
connaissance empirique et que l'on construit ces objets idéaux qui vont constituer la connaissance rationnelle
et en particulier la connaissance scientifique. Et cela ne concerne pas seulement les mathématiques.

Dans les sciences naturelles, vous passez de l'objet empirique, par exemple un chien, à l'objet idéal "chien"
qui se cnstruit par ce qu'on reconnaît des caractères communs à certains animaux, les chiens.

C'est cela qui permet les classifications telles celle de Linné avec ses embranchements, ses ordres, ses genres.
La question difficile est celle de la liaison entre la connaissance empirique et la connaissance rationnelle,
difficulté principale de l'enseignement scientifique.

Autre question difficile, où se situe la frontière entre la connaissance empirique et la connaissance rationnelle,
question importante à laquelle on ne peut donner de réponse précise. Toute connaissance empritique suppose
des connaissances déjà acquises ce qui fait qu'elle n'est jamais purement empirique.
Mais il faut s'habituer ici à cela. Difficile de fixer une frontière.

L'élève étudie les propriétés du triangle et c'est parce qu'il les étudie qu'il peut appréhender le triangle idéal.
C'est dans un second temps qu'on peut parler d'objet idéal, et c'est le rôle de l'enseignement que d'amener
l'élève à penser les objets idéaux, de l'amener aussi à comprendre purquoi et comment ces objets idéaux
se transforment au fur et à mesure que ces connaissances augmentent. Je ne sais ce que cela veut dire que
l'on passe progressivement de la représentations des idées aux idées elles-mêmes.

En fait on  passe, d'une façon complexe, des choses perçues aux idées de ces choses.
A quel moment on passe de la chose perçue à l'idée, je ne sais si on peut répondre à cette question.
On peut parler du processus d'abstraction, même si cela n'explique pas grand chose.
Je vous envoie dans un courrier privé un texte sur l'abstraction, texte qui est à compléter.

L'espace et le temps sont des objets idéaux. Cela demande à être préciser.
Dire que ce sont des productions de la pensée reste vague si on ne précise pas comment la pensée a pu les produire.
L'espace est une construction complexe, née au XVIIème siècle. il n'y a pas d'espace dans la géométrie grecque.
Je vous renvoie à Euclide. Pour les Grecs il y a des lieux mais l'espace, en tant qu'il permet de coordonner ces
différents lieux n'est pas défini. L'espace s'est construit à partir de deux problématiques, d'une part la
représentation perspectiviste car il fallait coordonner différents lieux pour les représenter sur un tableau,
d'autre part l'étude du mouvement pour la même raison. Une première définition est donnée par Pascal dans un
projet d'ouvrage de géométrie ; une seconde définition est donnée dans les Principia de Newton.

Quant au temps, il faut distinguer le devenir qui correspond à la succession des instants et qui relève plus du
senti même si on trouve des formes de théorisation, par exemple chez Aristote, et le temps de la mécanique
qui est une idéalité mathématique, laquelle a permis le développement de la mécanique rationnelle.

C'est ce temps qui est défini dans les Principia. Ainsi espace et temps sont des idéalités mais ces idéalités sont
nées de questions sur le monde.

Qu'est-ce que cela veut dire que ces idéalités (l'espace et le temps) préexistent au raisonnement logique.
Ces idéalités, comme toute idéalité, sont des constructions de l'esprit humain et ces constructions s'appuient
sur le raisonnement. Qu'est-ce que cela veut dire que l'espace et le temps sont des données immédiates de
la conscience. L'histoire des sciences montrent que ces objets ont été construits, qu'ils sont datés.

Si on dit que ce sont des données immédiates de la conscience, il faudrait alors expliquer comment des
données immédiates sont apparus à un moment donné. Si le XVIIème siècle est marqué par ce qu'on appelle
la Révolution Scientifique, il ne correspond pas à une révolution anthropologique, Galilée, Descartes et Newton
ne sont pas des mutants. Kant a cherché à répondre à Hume et pour cela il a inventé les formes a priori de
l'intuition, mais qu'est-ce que cela signifie ? En fait il a ouvert un débat, mais ce débat est loin d'être refermé,
même si aujourd'hui certains cognitivistes aimeraient scientifiser le travail de Kant.

En fait on se méfie de l'empirisme. Il est vrai que l'empirisme a un point aveugle :
comment les sensations donnent-elles naissances à des idées ? Kant pense avoir apporté une réponse,
c'est tout ce que l'on peut dire. Peut-être faut-il aller regarder du côté de Leibniz, et plus tard du côté de Riemann.

Je résumerai tout cela en disant que tout objet scientifique est construit, que ce soit l'espace, le temps ou
l'énergie, mais une construction se fait à,partir de questions que l'on se pose. Il faut alors regarder du côté
de ces questions. Et on tombe sur la difficile question des rapports entre la connaissance empirique et la
connaissance rationnelle. Il faut se méfier des solutions toutes prêtes, que ce soit les Idées de Platon et les
formes a priori de l'intuition de Kant. SI ces solutions peuvent contribuer à éclairer, elles ne sont que partielles.

Ici on peut lire le point de vue d'Aristote, disciple dissident de Platon qui s'appuie sur la connaissance empirique
pour construire la connaissance rationnelle.

Bien cordialement,
--
Rudolf Bkouche
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #38 le: 04 novembre 2014, 05:52:00 pm »
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Jean-Luc Giaco a écrit :

Quand j'entends qu'une fonction est continue si on peut tracer la courbe sans lever le crayon...
désolé, mais ça me met de mauvaise humeur.

J. P. G. a répondu :

Tu as raison, crayon et lever n'ont pas été définis
(encore que dans Logo, crayon et lever-crayon soient bien définis :)

Sinon, la fonction explicite f est continue en a explicite,
si pour tout x très proche de a, f(x) est très proche de f(a).

https://www.dropbox.com/s/wpkpidkcw9hd1tm/prs_ordg.pdf?dl=0
http://maths-03.site2.ac-strasbourg.fr/archives/maths_01/index.htm

J. P. G.
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #39 le: 05 novembre 2014, 03:18:54 pm »
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J. P. G. a écrit :

Tu as raison, crayon et lever n'ont pas été définis (encore que dans Logo, crayon et lever-crayon soient bien définis :)

Jean-Luc Giaco a répondu :

Oui. Tu comprends, ce qui m'énerve dans cette pseudo-définition,
ce n'est pas qu'elle n'est pas rigoureuse, pas formalisée.

C'est inévitable dans l'enseignement, je ne suis pas naïf.
Je ne demande pas de Bourbakiser le lycée.

C'est que cette définition n'est même pas porteuse de sens,
en réalité. Ne pas lever le crayon, c'est tout et n'importe quoi.

Et en plus, elle introduit des idées fausses, dont plus tard,
l'étudiant aura du mal à se débarrasser.

Elle ne s'applique en réalité qu'aux discontinuités de première
espèce, et elle suppose qu'on est sur R.

Comment expliquer qu'une suite est une fonction continue sur N,
après ça ?

Surtout, je ne vois pas pourquoi on n'utiliserait pas celle que tu
donnes : si pour tout x très (infiniment) proche de a, f(x) est très
(infiniment) proche de f(a).

Qu'on utilise l'analyse standard ou non standard, peut me chaut,
parce qu'on peut de toute façon donner à cette proposition un
sens intuitif, avec quelques exemples bien choisis et un peu de
préparation. Et en même temps, elle est correcte du point de
vue mathématique.

Parce que, bien sûr, je maintiens mon idée que l'idée de limite
est assez intuitive, même si sa définition formelle est relativement
élaborée.

D'ailleurs, les matheux ont utilisé les limites et l'infini
bien avant la formalisation de Weierstrass.

Par exemple, dire que l'aire des polygones se rapproche de l'aire
du disque, dans la construction d'Archimède, ne me semble pas
de nature à choquer beaucoup les élèves.
--
Jean-Luc Giaco
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #40 le: 05 novembre 2014, 03:30:13 pm »
Citer
Citer
Rudolf Bkouche a écrit (...)
Jean-Luc Giaco a répondu :

Je ne pourrai pas vous répondre sur tout, ce serait très long et
je ne veux pas phagocyter la liste. Je ne peux pas non plus
déterminer qui a raison d'Euclide, de Platon, d'Aristote, de
Descartes, de Hume ou de Kant parce que mes compétences
philosophiques sont trop limitées.

Je réponds donc sur un ou deux points.

Citer
"Si elle (la connaissance empirique) est un
point de départ, elle est insuffisante, elle ne donne aucune explication."

Encore un point difficile. Que signifie "expliquer" ?

Citer
"L'élève étudie les propriétés du triangle et c'est parce qu'il les étudie qu'il peut appréhender le triangle idéal."

Mais quelle différence faites-vous entre "triangle" et
"triangle idéal" ? Pour moi, je n'en vois aucune. C'est bien le
problème. Le dessin d'un triangle n'est PAS un triangle, pas plus
que le dessin d'une pipe n'est une pipe.


Citer
"L'espace et le temps sont des objets idéaux.
Cela demande à être précisé. Dire que ce sont des productions
de la pensée reste vague si on ne précise pas comment la pensée
a pu les produire. L'espace est une construction complexe,
née au XVIIème siècle."

Vous donnez au mot espace un sens précis.
Ce n'est pas ce qui m'intéresse. Je ne vais pas me lancer dans
une querelle de mots. Je vous propose de relire le chapitre IV
de "La science et l'hypothèse", intitulé "L'espace et la géométrie".

Poincaré y parle de l'espace géométrique, de l'espace visuel, de l'espace tactile et moteur.

L'espace dont je parle est un cadre, dans lequel se trouvent les
objets, et dont la qualité principale est l'étendue, idée bien
antérieure au XVIIe siècle. C'est une connaissance parfaitement
empirique, issue des sens (en particulier la vue). Elle s'occupe de
ce qui est "grand" ou "petit", "loin" ou "près". Elle concerne autant
le géographe que le paysan qui fait une corrélation empirique
entre la quantité de blé et l'aire du champ, ou que le voyageur,
qui sent très bien l'espace parcouru à la lourdeur de ses jambes.

Je suis bien d'accord que l'espace géométrique, celui du géomètre
et du physicien (c'est la même chose pour moi) est le produit
d'une construction rationnelle. Mais cette construction s'appuie sur
une connaissance empirique préexistante.

Si pour vous "objet idéal" signifie "objet construit par le
raisonnement", alors vous avez raison. Mais alors l'esprit est
peuplé d'objet non idéaux, qui ne sont pas non plus des
sensations : idée empirique d'espace, mais aussi de nombre
entier, puis concepts philosophiques tels que : liberté, bien, mal,
beauté, justice, conscience, bonheur, valeur, richesse, peuple,
humanité, etc.

Tout cela nous entraîne loin des fonctions continues.
--
Jean-Luc Giaco
« Modifié: 05 novembre 2014, 06:12:20 pm par Mateo »
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #41 le: 05 novembre 2014, 06:12:30 pm »
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Citer
Jean-Luc Giaco a écrit (...)
Rudolf Bkouche a répondu :

Sur le premier point je pourrais répondre, même si cela est insuffisant :
expliquer c'est dire les causes, dans un sens général. Ici je reprends Aristote. La question,
c'est qu'une explication n'est jamais définitive et qu'elle se transforme au fur et à masure que
les connaissances se développent. Mais il faut bien accepter qu'il n'y a pas de connaissance ultime.
C'est cela qui explique l'évolution des sciences, ainsi Ptolémee, Copernic, Newton, Einstein.

Sur le second point, la question est celle de la construction des idéalités mathématiques.
Qu'est-ce qui amène à construire ces idéalités. On peut évidemment penser qu'elles existent
avant l'homme comme le pensait Platon, mais cela relève de la croyance.

Ce qui importe c'est de voir comment on passe du dessin qui représente  une chose
(je n'emploie pas le mot "objet") ) à l'objet idéal qui le représente.
Quel est le rôle du raisonnement dans la construction des objets idéaux ?

C'est à la fois une question philosophique et une question pédagogique :
comment amener l'élève à penser les objets idéaux. Et on sait, lorsqu'on fait des mathématiques,
que les objets idéaux évoluent au fur et à mesure des connaissances.

On peut poser poser par exemple la question "qu'est-ce qu'une droite ?"
il est intéressant de voir comment cette notion évolue, mais peut-être plus intéressant
de comprendre les raisons de son évolution, sans oublier qu'une nouvelle définition n'efface pas
les anciennes.  On pourrait poser la question, ce que je faisais quand l'enseignais au CAPES,
quel rapport entre le trait tracé sur la feuille de papier ou sur le tableau et un espace affine de dimension 1 sur le corps des réels.

Le mot "espace" a plusieurs définitions. Ce que dit Poincaré, c'est la façon dont la notion
d'espace s'est constituée, quels sont les ingrédients de cette notion. Il explique que l'espace est
un objet construit et s'intéresse à la façon dont ce concept s'est construit. Rien à voir avec
une notion a priori d'espace. La question du lien entre le visuel et le tactile s'est posé dès
l'époque ou on a pensé l'espace géométrique, c'est-à-dire au XVIIème siècle.

Plus intéressant est de lire dans l'Encyclopédie la définition de l'espace qui n'est autre que
le spatium des latins, la place qu'il y a entre les objets, alors que dans l'article Géométrie,
D'Alembert parle du concept d'espace géométrique.

Il y a donc une ambiguïté, ce qui n'est pas grave. il y a une notion usuelle d'espace, ce qui est entre les objets,
et une notion physico-mathématique. On peut alors poser la question de l'origine de cette notion et
c'est cela que fait Poincaré dans le texte que vous citez.

Lorsque vous dites que l'espace est un cadre dans lequel se trouvent les objets,
vous reprenez la définition de Newton, c'est-à-dire une définition construite.
Cela n'a rien d'empirique. Les sens permettent de percevoir des choses et la place entre ces objets,
ils ne permettent pas de percevoir l'espace.

Un objet idéal est un objet construit par l'homme, on peut ajouter par le raisonnement à
condition de donner au terme raisonnement un sens plus large que son sens logique.

Dieu est un objet idéal par exemple. Toute la question, à laquelle on ne sait toujours pas
répondre si on le sait un jour, est celle de la transformation des sensations en idées, et
par conséquent de la construction des idéalités. Il est vrai que l'esprit est empli d'objets idéaux,
mais ces objets idéaux ont une histoire, ils sont construits et se transforment au cours de l'histoire.

Cela dit, si la question est plus générale, la question des objets idéalités mathématiques et
de leur appréhension par les élèves est essentiel dans l'enseignement des mathématiques.

Bien cordialement.
--
Rudolf Bkouche
Mateo
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Mateo

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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #42 le: 05 novembre 2014, 06:24:23 pm »
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Rudolf Bkouche a écrit (...)
Jean-Luc Giaco a répondu :

Quelques points (j'essaie de faire court.)

Pour ce qui concerne l'espace,
je ne comprends pas la même chose que vous à la lecture de Poincaré.
Vous dites : "Rien à voir avec une notion a priori d'espace."

Je suis en désaccord avec cette affirmation, sans pouvoir donner d'argument définitif.
Mais vous dites plus loin: "il y a une notion usuelle d'espace, ce qui est entre les objets..."
C'est à peu près ce que je voulais dire en parlant d'idée intuitive d'espace.
Est-ce un objet idéal ? Je ne vous contredirai pas là-dessus, c'est une question de mots.
La seule chose qui m'intéresse est que c'est une notion commune, indépendante du
(et préexistant au) raisonnement logique.

Quand vous dites que je reprends la définition de Newton, je me sens extrêmement flatté.
Mais en réalité, je pense qu'ici, il n'a rien inventé. Il a simplement donné un nom à une
notion existante. (Je reconnais que je ne peux pas le prouver.)

Vous dites : "Un objet idéal est un objet construit par l'homme, on peut ajouter par le
raisonnement à condition de donner au terme raisonnement un sens plus large que son
sens logique."

Cette définition m'embarrasse, pour deux raisons. D'abord parce que je ne vois pas ce que
serait un raisonnement non logique. (Et ne me dites pas, comme les religieux et les illuminés,
qu'il y a plusieurs logiques.)

Mais aussi parce qu'elle est tellement englobante qu'elle en devient inopérante.
En effet, qu'est-ce qui n'est pas construit dans l'esprit? Même nos sensations le sont.
On sait bien que le cerveau filtre les données sensorielles, parce qu'il ne peut en traiter de
façon consciente qu'une petite quantité.

Cordialement,
--
Jean-Luc Giaco
Mateo
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Re : La notion de limite en mathématiques
« Réponse #43 le: 05 novembre 2014, 06:31:00 pm »
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Jean-Luc Giaco a écrit (...)
Rudolf Bkouche a répondu :

D'accord pour dire que l'espace défini comme ce qui se situe entre les choses est une
notion commune. Mais la notion d'espace physico-géométrique est une notion construite
au XVIIème siècle et Poincaré tente d'expliquer comment elle se construit, distinguant les
divers aspects, le visuel et le tactile. Mais c'est là une réflexion théorique.

La relation entre le tactile et le visuel est discutée au XVIIIème siècle.
Poincaré la reprend en ajoutant le point de vue des transformations qui s'est développé
au XIXème siècle. De toutes façons, il écrit que l'espace n'est pas une donnée expérimentale.
Et ses remarques sont loin de celles de Kant.

Quand je dis que vous repreniez la définition de Newton,
je rappelle que cette définition est devenue une des notions principales de la mécanique et elle
n'a été remise en cause qu'avec la découverte (ou l'invention) des géométries non-euclidiennes.

Même si elle est encore utilisée aujourd'hui dans certains problèmes.
Si on regarde l'histoire de cette définition, on s'aperçoit qu'elle s'est construite tout au long
du XVIIème siècle et qu'elle ne semble pas aller de soi, chez Descartes par exemple.

Avant Newton, il y a celle de Pascal. Ces deux définitions ont en commun qu'elles définissent
un espace vide, ce qui marque une révolution par rapport aux conceptions en cours à l'épique.

Pour Descartes, il n'y a pas d'étendue en dehors de la matière et il y a une longue
correspondance entre Pascal et un Jésuite, le Père Noël (c'est son nom) entre Pascal qui
soutient l'existence du vide et le Père Noël qui explique, en s'appuyant sur Aristote,
pourquoi le vide n'existe pas. Les choses ne vont donc pas de soi.

Et plus tard au XXème siècle, Einstein expliquera qu'on ne peut concevoir un espace vide,
conséquence de la théorie de la Relativité Générale.

J'ai dit qu'un objet idéal est un objet construit par l'homme pour diverses raisons ;
parmi ces raisons il y a des raisons logiques; mais toutes ne le sont pas.
On peut définir celles-ci comme des raisonnements non logiques,
ce qui pose problème comme vous le remarquez, mais on peut aussi refuser à ces raisons la
qualité de raisonnement, justement parce que cela ne relève pas de la logique.

Si on appelle raisonnement un discours s'appuyant sur des règles codifiées par la logique,
on peut alors considérer les diverses argumentions développées pour définir certains objets
idéaux comme ne relevant pas de la logique. D'autant que ces argumentations peuvent conduire
à des paralogismes. Il ne s'agit pas d'accepter toute argumentation, la logique permettant de
les départager. C'est pour cela que je place Dieu dans les objets idéaux.

C'est une invention humaine ; il y a des tentatives des démonstration à l'apparence logique,
mais le croyant n'en a pas besoin. Ainsi Descartes tente de démontrer l'existence Dieu alors
que le mystique Pascal n'a pas besoin d(un telle démonstration. Mais cela n'enlève pas à Dieu
son caractère d'objet idéal. Ici on sort de la logique.

Reste qu'il faut distinguer la connaissance issue des sens, sans autre préalable,
si ce n'est les phénomènes biologiques qui permettent ces connaissances et les
connaissances construites par l'esprit humain qui peuvent de faire de divers façons,
parmi lesquelles les connaissances rationnelles et les connaissances scientifiques.

Même si elles ne se réduisent pas à des objets de discours, ces connaissances rationnelles
et scientfiiques se traduisent via le discours, et de façon précise, par un discours
convenablement réglées. Pour revenir à l'enseignement des sciences, le problème est d'amener
les élèves à maîtriser ces discours à,commencer par le discours démonstratif.

Je suis d'accord avec vous pour être très strict sur la notion de logique. Aujourd'hui on sait construire par des constructions mathématiques précises des logiques diverses, logiques qu'il ne faut pas confondre avec les discours religieux ou autres.

Rudolf Bkouche
Mateo
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